【常见的10个泰勒公式】泰勒公式是数学分析中的重要工具，广泛应用于近似计算、函数展开和微分方程求解等领域。它将一个光滑函数在某一点附近用多项式形式表示，从而便于研究函数的局部性质。以下是常见的10个泰勒公式，适用于不同类型的函数。
一、
泰勒公式的基本形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $R_n(x)$ 是余项。当 $a=0$ 时，泰勒公式也称为麦克劳林公式。以下列出的是在 $x=0$ 处展开的常用泰勒级数（即麦克劳林展开）。
这些公式在工程、物理和计算机科学中具有重要应用，例如用于数值计算、信号处理和算法优化等。
二、常见泰勒公式表格
| 序号 | 函数名称 | 泰勒展开式（x=0处） | 收敛区间 | ||
| 1 | 指数函数 | $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| 2 | 正弦函数 | $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| 3 | 余弦函数 | $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| 4 | 自然对数函数 | $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ | $-1 < x \leq 1$ | ||
| 5 | 幂函数 | $(1+x)^k = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots$ | $ | x | < 1$ |
| 6 | 反正切函数 | $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ | $ | x | \leq 1$ |
| 7 | 对数函数（底为a） | $\log_a(1+x) = \frac{1}{\ln a}\left(x - \frac{x^2}{2} + \cdots\right)$ | $-1 < x \leq 1$ | ||
| 8 | 正切函数 | $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$ | $ | x | < \frac{\pi}{2}$ |
| 9 | 反正弦函数 | $\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots$ | $ | x | \leq 1$ |
| 10 | 双曲正弦函数 | $\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ |
三、小结
以上10个泰勒公式涵盖了常见的初等函数和一些特殊函数，它们在数学分析、物理建模和工程计算中都有广泛应用。理解并掌握这些展开式，有助于提高对函数行为的直观认识，并能有效进行近似计算与误差估计。
通过实际应用这些公式，可以更深入地理解函数的局部性质以及其在不同区域内的表现形式。