【常见16个定积分公式】在数学分析中，定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握一些常见的定积分公式，不仅有助于快速计算，还能提高解题效率。以下总结了16个常见的定积分公式，适用于不同类型的函数和区间。
一、基本定积分公式
| 序号 | 公式 | 区间 | 说明 |
| 1 | $\int_a^b dx = b - a$ | $[a, b]$ | 常数函数的积分 |
| 2 | $\int_a^b x \, dx = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)$ | $[a, b]$ | 一次函数的积分 |
| 3 | $\int_a^b x^n \, dx = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}$（$n \neq -1$） | $[a, b]$ | 幂函数的积分 |
| 4 | $\int_a^b e^x \, dx = e^b - e^a$ | $[a, b]$ | 指数函数的积分 |
| 5 | $\int_a^b \sin x \, dx = -\cos b + \cos a$ | $[a, b]$ | 正弦函数的积分 |
| 6 | $\int_a^b \cos x \, dx = \sin b - \sin a$ | $[a, b]$ | 余弦函数的积分 |
二、对称区间上的积分
| 序号 | 公式 | 区间 | 说明 |
| 7 | $\int_{-a}^{a} x \, dx = 0$ | $[-a, a]$ | 奇函数在对称区间的积分为0 |
| 8 | $\int_{-a}^{a} x^2 \, dx = 2\int_0^a x^2 \, dx = \frac{2}{3}a^3$ | $[-a, a]$ | 偶函数在对称区间的积分 |
| 9 | $\int_{-a}^{a} \sin x \, dx = 0$ | $[-a, a]$ | 奇函数在对称区间的积分为0 |
| 10 | $\int_{-a}^{a} \cos x \, dx = 2\int_0^a \cos x \, dx = 2\sin a$ | $[-a, a]$ | 偶函数在对称区间的积分 |
三、特殊函数与常见形式
| 序号 | 公式 | 区间 | 说明 |
| 11 | $\int_0^{\infty} e^{-x} dx = 1$ | $[0, \infty)$ | 指数衰减函数的积分 |
| 12 | $\int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx = n!$（$n$为整数） | $[0, \infty)$ | Γ函数（伽马函数）的特例 |
| 13 | $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{4}$ | $[0, \frac{\pi}{2}]$ | 三角函数平方的积分 |
| 14 | $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx = \frac{\pi}{4}$ | $[0, \frac{\pi}{2}]$ | 三角函数平方的积分 |
| 15 | $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan x \, dx$ | $[0, \frac{\pi}{2})$ | 发散（无界） |
| 16 | $\int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \frac{\pi}{2}$ | $[0, 1]$ | 反三角函数的积分 |
说明：
以上公式适用于初等数学和部分高等数学中的基础内容。实际应用时，需要注意积分上下限是否合理、函数是否连续、是否存在奇点等。对于某些复杂函数或广义积分，可能需要使用数值方法或更高级的数学工具进行求解。
通过掌握这些常见的定积分公式，可以更高效地处理许多数学问题，尤其在考试、作业和实际应用中具有重要价值。建议结合图形理解函数的性质，以增强对积分概念的直观认识。