【常见不等式公式总结】在数学学习与应用中，不等式是一个非常重要的工具，广泛应用于代数、几何、微积分、优化等多个领域。掌握常见的不等式公式不仅有助于提高解题效率，还能增强逻辑思维能力。本文对一些常见的不等式进行系统性总结，便于查阅和复习。
一、基本不等式
| 不等式名称 | 表达式 | 适用范围 | 说明 | ||||||||||
| 基本不等式（均值不等式） | $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $ | $ a, b > 0 $ | 当且仅当 $ a = b $ 时取等号 | ||||||||||
| 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | $ a, b \in \mathbb{R} $ | 表示向量或实数的绝对值性质 | ||||
| 绝对值不等式 | $ | a | - | b | \leq | a - b | \leq | a | + | b | $ | $ a, b \in \mathbb{R} $ | 反映差值与绝对值之间的关系 |
二、常用不等式类型
| 不等式类型 | 表达式 | 适用范围 | 说明 |
| 算术-几何平均不等式（AM-GM） | $ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} $ | $ a_i > 0 $ | 当且仅当所有 $ a_i $ 相等时取等号 |
| 柯西-施瓦茨不等式 | $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | $ a_i, b_i \in \mathbb{R} $ | 在向量内积中广泛应用 |
| 排序不等式 | $ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} $ | $ a_i, b_i $ 为同序排列 | 适用于有序序列的乘积和比较 |
三、特殊函数相关不等式
| 不等式名称 | 表达式 | 适用范围 | 说明 |
| 对数不等式 | $ \ln x \leq x - 1 $ | $ x > 0 $ | 用于证明某些极限或不等式 |
| 指数不等式 | $ e^x \geq 1 + x $ | $ x \in \mathbb{R} $ | 用于估计指数函数的下界 |
| 三角函数不等式 | $ \sin x \leq x \leq \tan x $ | $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ | 用于极限分析和近似计算 |
四、其他重要不等式
| 不等式名称 | 表达式 | 适用范围 | 说明 | ||||||
| 杨不等式 | $ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $ | $ a, b \geq 0 $, $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ | 用于泛函分析和优化问题 | ||||||
| 霍尔德不等式 | $ \sum_{i=1}^{n} | f_i g_i | \leq \left( \sum_{i=1}^{n} | f_i | ^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^{n} | g_i | ^q \right)^{1/q} $ | $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ | 用于函数空间中的积分不等式 |
| 赫尔德不等式 | $ \int | fg | dx \leq \ | f\ | _p \ | g\ | _q $ | $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ | 是霍尔德不等式的积分形式 |
五、不等式应用提示
1. 注意条件限制：许多不等式有特定的使用前提，如正数、实数、非负数等。
2. 结合图形理解：对于涉及函数的不等式，可以借助图像辅助理解其成立的区域。
3. 灵活运用变形：有些不等式可以通过代数变形或变量替换来简化问题。
4. 多练习典型例题：通过实际题目加深对不等式应用场景的理解。
通过以上总结，可以看出不等式不仅是数学理论的重要组成部分，也是解决实际问题的有力工具。掌握这些不等式及其应用场景，将大大提升数学分析和解决问题的能力。