【log函数的基本公式】在数学中，对数函数（log函数）是一种重要的函数类型，广泛应用于科学、工程和计算机领域。它与指数函数互为反函数，常用于简化乘法、除法、幂运算等复杂计算。以下是log函数的一些基本公式总结。
一、基本定义
设 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $，则对于任意正实数 $ x $，存在唯一的实数 $ y $，使得：
$$
a^y = x
$$
我们称这个 $ y $ 为以 $ a $ 为底的 $ x $ 的对数，记作：
$$
\log_a x = y
$$
二、常用对数与自然对数
- 常用对数：以10为底的对数，记作 $ \log x $
- 自然对数：以 $ e $（欧拉数，约2.718）为底的对数，记作 $ \ln x $
三、log函数的基本公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 对数定义 | $ \log_a b = c \iff a^c = b $ | 对数与指数的关系 |
| 积的对数 | $ \log_a (mn) = \log_a m + \log_a n $ | 两个数相乘的对数等于各自对数之和 |
| 商的对数 | $ \log_a \left( \frac{m}{n} \right) = \log_a m - \log_a n $ | 两个数相除的对数等于各自对数之差 |
| 幂的对数 | $ \log_a (m^n) = n \log_a m $ | 幂的对数等于指数乘以底数的对数 |
| 换底公式 | $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $ | 可以将任意底数的对数转换为其他底数 |
| 底数与真数互换 | $ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $ | 对数的倒数关系 |
| 对数恒等式 | $ a^{\log_a b} = b $ | 指数与对数的相互抵消 |
| 1的对数 | $ \log_a 1 = 0 $ | 任何底数的1的对数都是0 |
| 底数的对数 | $ \log_a a = 1 $ | 任何数的对数为其自身时结果为1 |
四、应用举例
1. 化简表达式
$$
\log_2 (8 \times 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5
$$
2. 换底计算
$$
\log_3 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 3} = \frac{0.9542}{0.4771} \approx 2
$$
3. 求解方程
$$
\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8
$$
五、注意事项
- 对数的底数必须大于0且不等于1；
- 真数（即对数中的参数）必须为正数；
- 当底数为10或e时，可直接使用计算器进行计算。
通过掌握这些基本公式，可以更高效地处理与对数相关的数学问题，尤其在涉及指数增长、信息论、复利计算等领域中具有重要意义。