【莱布尼茨收敛判别法】在数学分析中，级数的收敛性是一个重要的研究课题。对于交错级数（即正负项交替出现的级数），莱布尼茨收敛判别法是一种判断其是否收敛的有效方法。该判别法由德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨提出，适用于形式为 $\sum (-1)^n a_n$ 的级数，其中 $a_n > 0$。
一、莱布尼茨收敛判别法的核心内容
莱布尼茨收敛判别法指出：如果一个交错级数 $\sum (-1)^n a_n$ 满足以下两个条件：
1. 单调递减：即 $a_{n+1} \leq a_n$ 对所有 $n$ 成立；
2. 极限为零：即 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$；
那么该级数是收敛的。
需要注意的是，这个判别法仅用于判断交错级数的收敛性，并不能直接用于判断非交错级数的收敛性。
二、判别法的应用与注意事项
| 条件 | 说明 |
| 单调递减 | 数列 $a_n$ 必须是逐渐变小的，不能忽大忽小 |
| 极限为零 | 当 $n$ 趋于无穷时，通项必须趋于零 |
| 仅适用于交错级数 | 不能用于其他类型的级数（如正项级数） |
| 可能不适用所有情况 | 如果不满足上述两个条件，则无法使用该判别法 |
三、举例说明
例子1：
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$
- $a_n = \frac{1}{n}$ 显然是单调递减的；
- $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$；
因此，根据莱布尼茨判别法，该级数是收敛的。
例子2：
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1}$
- $a_n = \frac{n}{n+1}$ 并不是单调递减的（实际上它是递增的）；
- $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \neq 0$；
因此，该级数不满足莱布尼茨判别法的条件，无法通过该方法判断其收敛性。
四、总结
莱布尼茨收敛判别法是判断交错级数收敛性的重要工具，尤其适用于形式简单的交错级数。它要求通项数列既单调递减又趋于零。虽然该方法简单有效，但并不适用于所有情况，使用时需仔细检查条件是否满足。
| 判别法名称 | 莱布尼茨收敛判别法 |
| 适用对象 | 交错级数 $\sum (-1)^n a_n$ |
| 判断结果 | 收敛（当满足两个条件时） |
| 限制条件 | 通项必须单调递减且极限为零 |
| 典型应用 | $\sum (-1)^n \frac{1}{n}$ 等 |
通过合理应用莱布尼茨判别法，可以更高效地分析一些常见级数的收敛性，为后续的数学研究提供基础支持。