二重积分的简单例题解析

二重积分是高等数学中的一个重要内容，广泛应用于物理学、工程学以及经济学等领域。它主要用于计算平面区域上的面积、质量分布、体积等问题。本文将通过一个简单的例子来帮助读者理解如何计算二重积分。

什么是二重积分？

二重积分是定积分概念的推广，用于计算函数在一个二维区域上的累积效果。其形式通常表示为：

\[

\iint_R f(x, y) \, dA

\]

其中，\( R \) 是积分区域，\( f(x, y) \) 是被积函数，\( dA \) 表示面积元素。计算时，需要将二重积分转化为累次积分（先对 \( x \)，后对 \( y \) 或反之），然后按照一维定积分的方法逐步求解。

例题解析

假设我们需要计算函数 \( f(x, y) = xy \) 在矩形区域 \( R = [0, 2] \times [0, 3] \) 上的二重积分。即：

\[

\iint_R xy \, dA

\]

第一步：确定积分区域和被积函数

根据题目描述，积分区域是一个矩形，其边界由 \( x \in [0, 2] \) 和 \( y \in [0, 3] \) 确定。被积函数为 \( f(x, y) = xy \)。

第二步：设定累次积分

为了便于计算，我们选择先对 \( x \) 积分，再对 \( y \) 积分。因此，二重积分可以写成：

\[

\int_0^3 \left( \int_0^2 xy \, dx \right) dy

\]

第三步：内层积分

首先计算内层积分 \( \int_0^2 xy \, dx \)。这里 \( y \) 被视为常数：

\[

\int_0^2 xy \, dx = y \int_0^2 x \, dx

\]

利用定积分公式 \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \)，可得：

\[

\int_0^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2

\]

因此，内层积分结果为：

\[

\int_0^2 xy \, dx = y \cdot 2 = 2y

\]

第四步：外层积分

接下来计算外层积分 \( \int_0^3 2y \, dy \)：

\[

\int_0^3 2y \, dy = 2 \int_0^3 y \, dy

\]

再次使用定积分公式 \( \int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} \)，可得：

\[

\int_0^3 y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^3 = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2}

\]

因此，外层积分结果为：

\[

\int_0^3 2y \, dy = 2 \cdot \frac{9}{2} = 9

\]

第五步：最终答案

经过以上计算，二重积分的结果为：

\[

\iint_R xy \, dA = 9

\]

总结

通过上述步骤可以看出，二重积分的计算过程与一维定积分类似，但需注意积分区域的划分和变量的顺序。在实际应用中，合理选择积分次序可以简化计算。希望本例题能够帮助大家更好地掌握二重积分的基本思想和计算方法！