求值域的例题及解析

函数的值域是数学中一个重要的概念，它表示函数在定义域内所有可能输出值的集合。求解函数的值域需要综合运用代数、几何以及不等式等多种方法。本文通过一道典型例题，展示如何系统地分析并求出函数的值域。

例题：

已知函数 $ f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3} $，求其值域。

解析：

第一步：确定定义域

首先，函数的表达式涉及平方根符号，因此必须保证被开方部分非负。令 $ g(x) = x^2 - 4x + 3 $，则需满足：

$$

g(x) = x^2 - 4x + 3 \geq 0

$$

将 $ g(x) $ 转化为标准形式：

$$

g(x) = (x-1)(x-3)

$$

由二次函数的性质可知，当 $ x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $ 时，$ g(x) \geq 0 $。因此，函数 $ f(x) $ 的定义域为：

$$

D_f = (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)

$$

第二步：分析函数的单调性

为了进一步研究值域，我们对 $ f(x) $ 进行变形。注意到：

$$

f(x) = \sqrt{(x-1)(x-3)}

$$

设 $ h(x) = (x-1)(x-3) $，这是一个开口向上的抛物线，顶点位于 $ x = 2 $（即抛物线的对称轴）。由此可知，在区间 $(-\infty, 1]$ 和 $[3, +\infty)$ 上，$ h(x) $ 单调递增。

第三步：计算最小值与最大值

在定义域内，$ h(x) $ 的最小值出现在边界点处。分别计算 $ h(1) $ 和 $ h(3) $：

$$

h(1) = (1-1)(1-3) = 0, \quad h(3) = (3-1)(3-3) = 0

$$

因此，$ h(x) $ 的最小值为 0，且此时 $ f(x) = \sqrt{0} = 0 $。

对于最大值，由于 $ h(x) $ 在区间 $(-\infty, 1]$ 和 $[3, +\infty)$ 上无界（随 $ |x| \to +\infty $ 趋于无穷大），对应的 $ f(x) $ 也趋于无穷大。

第四步：总结值域

综上所述，函数 $ f(x) $ 的值域为：

$$

\text{值域} = [0, +\infty)

$$

总结：

求解函数的值域通常需要分步骤进行：先确定定义域，再结合函数的性质（如单调性或对称性）判断其取值范围，并最终归纳出完整的值域。上述例题展示了这一过程的核心思路，希望读者能够从中掌握解决类似问题的方法。