arctan x 的原函数

在数学分析中，求解一个函数的原函数是积分学的重要内容。原函数是指能够通过不定积分运算得到的函数，它描述了原函数与导数之间的关系。本文将探讨如何求解 \( \arctan x \) 的原函数。

首先回顾一下 \( \arctan x \)，它是反三角函数之一，表示正切值为 \( x \) 的角度。其定义域为全体实数，值域为 \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \)。由于 \( \arctan x \) 是一个常见的初等函数，因此研究其原函数具有重要意义。

要找到 \( \arctan x \) 的原函数，我们需要计算不定积分 \( \int \arctan x \, dx \)。这一过程通常采用分部积分法。分部积分公式为：

\[

\int u \, dv = uv - \int v \, du

\]

我们选择 \( u = \arctan x \)，则 \( du = \frac{1}{1+x^2} \, dx \)；同时令 \( dv = dx \)，则 \( v = x \)。代入公式后，得到：

\[

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx

\]

接下来处理第二项积分 \( \int \frac{x}{1+x^2} \, dx \)。注意到分子 \( x \) 是分母 \( 1+x^2 \) 的导数，因此可以通过变量替换简化计算。设 \( t = 1+x^2 \)，则 \( dt = 2x \, dx \)，即 \( \frac{dt}{2} = x \, dx \)。于是：

\[

\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C

\]

将结果带回原式，得到：

\[

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C

\]

因此，\( \arctan x \) 的原函数为：

\[

F(x) = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C

\]

其中 \( C \) 为任意常数。

总结来说，利用分部积分法可以有效地解决 \( \arctan x \) 的原函数问题。这一结果不仅展示了积分技术的应用价值，也为进一步学习更复杂的积分奠定了基础。此外，在实际应用中，如物理学中的波动方程或工程学中的信号处理等领域，这类积分形式也经常出现，体现了其广泛的实际意义。