瑞利分布的期望与方差
瑞利分布是一种常见的概率分布，广泛应用于通信工程、雷达系统以及噪声分析等领域。它通常用来描述二维随机变量模长的概率分布，例如信号强度或信道增益等场景。本文将简要介绍瑞利分布的基本性质，并重点阐述其期望与方差的计算方法。
一、瑞利分布的定义
设随机变量 \( X \) 和 \( Y \) 是两个独立且服从标准正态分布 \( N(0, 1) \) 的随机变量，则它们的模长 \( R = \sqrt{X^2 + Y^2} \) 所服从的概率密度函数为：
\[
f_R(r) =
\begin{cases}
\frac{r}{\sigma^2} e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}, & r \geq 0; \\
0, & r < 0.
\end{cases}
\]
其中，参数 \( \sigma > 0 \) 表示尺度因子。当 \( \sigma = 1 \) 时，称为标准瑞利分布。
二、瑞利分布的期望
根据概率论的知识，随机变量 \( R \) 的数学期望可以通过积分公式求解：
\[
E[R] = \int_0^\infty r f_R(r) \, dr.
\]
代入 \( f_R(r) \)，我们得到：
\[
E[R] = \int_0^\infty r \cdot \frac{r}{\sigma^2} e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} \, dr = \frac{1}{\sigma^2} \int_0^\infty r^2 e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} \, dr.
\]
通过变量替换 \( u = \frac{r^2}{2\sigma^2} \)，可得 \( du = \frac{r}{\sigma^2} \, dr \)，从而简化为：
\[
E[R] = \sigma \int_0^\infty \sqrt{2u} e^{-u} \, du = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}.
\]
因此，瑞利分布的期望值为 \( E[R] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} \)。
三、瑞利分布的方差
方差的定义为 \( \text{Var}(R) = E[R^2] - (E[R])^2 \)。首先计算 \( E[R^2] \)：
\[
E[R^2] = \int_0^\infty r^2 f_R(r) \, dr = \int_0^\infty r^2 \cdot \frac{r}{\sigma^2} e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} \, dr = \frac{1}{\sigma^2} \int_0^\infty r^3 e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} \, dr.
\]
类似地，利用变量替换法可以得到：
\[
E[R^2] = 2\sigma^2.
\]
接着代入 \( E[R] \) 的结果，计算方差：
\[
\text{Var}(R) = E[R^2] - (E[R])^2 = 2\sigma^2 - (\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}})^2 = 2\sigma^2 - \sigma^2 \cdot \frac{\pi}{2}.
\]
化简后得到：
\[
\text{Var}(R) = \sigma^2 \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right).
\]
四、总结
综上所述，瑞利分布的期望和方差分别为：
\[
E[R] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \quad \text{Var}(R) = \sigma^2 \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right).
\]
这些结果表明，瑞利分布的均值和方差均依赖于尺度参数 \( \sigma \)，并且随着 \( \sigma \) 增大，分布的集中趋势增强，但波动范围也会扩大。这一特性使得瑞利分布在实际应用中具有重要意义。
