cos²x 的不定积分
在微积分中，求解函数的不定积分是重要的基础内容之一。本文将探讨如何计算 $\cos^2x$ 的不定积分，并详细说明其推导过程。
首先，我们回顾一下基本公式：$\cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$。这个恒等式来源于三角函数的基本性质，即将 $\cos^2x$ 转化为更易于处理的形式。通过这一变换，可以将复杂的积分问题分解为简单的部分。
接下来，我们需要对 $\int \cos^2x \, dx$ 进行计算。利用上述恒等式，我们可以将其改写为：
$$
\int \cos^2x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx.
$$
进一步拆分积分，得到：
$$
\int \cos^2x \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx.
$$
第一项非常简单，直接计算得：
$$
\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{1}{2}x.
$$
对于第二项 $\frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx$，我们需要应用变量替换法。令 $u = 2x$，则 $du = 2dx$，即 $dx = \frac{1}{2} du$。代入后可得：
$$
\frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{4} \sin(u).
$$
再将 $u = 2x$ 代回，得到：
$$
\frac{1}{4} \sin(u) = \frac{1}{4} \sin(2x).
$$
综合以上两部分的结果，最终得出：
$$
\int \cos^2x \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C,
$$
其中 $C$ 是积分常数。
综上所述，$\cos^2x$ 的不定积分为 $\boxed{\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C}$。此结果体现了数学中化繁为简的思想，同时也展示了积分技巧的重要性。通过灵活运用三角恒等式和变量替换法，许多看似复杂的问题都能迎刃而解。希望本文能帮助读者更好地理解这一知识点。
