问方向导数怎么求例题

【方向导数怎么求例题】方向导数是多元函数在某一点沿某一方向的变化率，它在数学、物理和工程中有着广泛的应用。理解方向导数的计算方法对于掌握多元微积分具有重要意义。本文将通过总结方式，结合实例，帮助读者掌握方向导数的求法。

一、方向导数的基本概念

方向导数表示函数在某个点沿着特定方向的变化率。设函数 $ f(x, y) $ 在点 $ P_0(x_0, y_0) $ 处可微，向量 $ \vec{u} = (u_1, u_2) $ 是单位向量，则函数 $ f $ 在点 $ P_0 $ 沿方向 $ \vec{u} $ 的方向导数为：

$$

D_{\vec{u}}f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \vec{u}

$$

其中，$ \nabla f $ 是函数 $ f $ 的梯度。

二、方向导数的计算步骤

三、方向导数的例题解析

例题 1：

已知函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $，求其在点 $ (1, 1) $ 沿方向 $ \vec{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $ 的方向导数。

解：

1. 求梯度：

$$

\nabla f = (2x, 2y)

$$

在点 $ (1, 1) $ 处：

$$

\nabla f(1, 1) = (2, 2)

$$

2. 方向向量 $ \vec{u} $ 已是单位向量。

3. 计算方向导数：

$$

D_{\vec{u}}f(1, 1) = (2, 2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

$$

答案： $ 2\sqrt{2} $

例题 2：

已知函数 $ f(x, y) = x^3 - 3xy $，求其在点 $ (2, 1) $ 沿方向 $ \vec{v} = (3, 4) $ 的方向导数。

解：

1. 求梯度：

$$

\nabla f = (3x^2 - 3y, -3x)

$$

在点 $ (2, 1) $ 处：

$$

\nabla f(2, 1) = (3(2)^2 - 3(1), -3(2)) = (12 - 3, -6) = (9, -6)

$$

2. 方向向量 $ \vec{v} = (3, 4) $，不是单位向量，需先单位化：

$$

\vec{v} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

$$

单位向量为：

$$

\vec{u} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)

$$

3. 计算方向导数：

$$

D_{\vec{u}}f(2, 1) = (9, -6) \cdot \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) = \frac{27}{5} - \frac{24}{5} = \frac{3}{5}

$$

答案： $ \frac{3}{5} $

四、总结表格

通过以上分析可以看出，方向导数的计算关键在于梯度的求取和方向向量的单位化。掌握这些基本步骤后，可以快速解决相关问题。希望本文能对学习方向导数的同学有所帮助。