【arctanx的积分等于什么】在数学中，求函数的积分是常见的问题之一。对于反三角函数 $ \arctan x $ 的积分，许多学生和学习者都希望了解其具体的表达式和计算方法。本文将对 $ \int \arctan x \, dx $ 进行总结，并以表格形式展示关键信息。
一、积分公式
$ \arctan x $ 的不定积分可以通过分部积分法来求解。设：
$$
u = \arctan x, \quad dv = dx
$$
则有：
$$
du = \frac{1}{1 + x^2} dx, \quad v = x
$$
根据分部积分公式：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来对右边的积分进行求解：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
因此，最终结果为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
二、总结与表格
| 项目 | 内容 |
| 函数 | $ \arctan x $ |
| 积分类型 | 不定积分 |
| 积分结果 | $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
| 积分方法 | 分部积分法 |
| 导数 | $ \frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| 注意事项 | 结果中包含对数项，需注意定义域（$ x \in \mathbb{R} $） |
三、补充说明
在实际应用中，$ \arctan x $ 的积分常用于物理、工程以及信号处理等领域。由于其涉及对数函数，因此在使用时需要注意数值稳定性，特别是在 $ x $ 接近无穷大或零附近时。
此外，若需要计算定积分，例如从 $ a $ 到 $ b $ 的积分，只需代入上下限即可，无需再添加常数 $ C $。
通过以上内容，我们清晰地了解了 $ \arctan x $ 的积分表达式及其推导过程。这一结果不仅具有理论价值，也具备广泛的应用意义。