【复合函数如何求导公式】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其求导需要使用“链式法则”（Chain Rule）。本文将对复合函数的求导方法进行总结，并通过表格形式展示常见复合函数的导数公式。
一、复合函数的基本概念
复合函数是指由一个函数作为另一个函数的输入所构成的新函数。例如，若 $ f(x) = \sin(x) $ 和 $ g(x) = x^2 $，则它们的复合函数为 $ h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) $。
二、复合函数的求导法则
复合函数的求导遵循链式法则，其基本形式如下：
$$
\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
也就是说，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
三、常见复合函数导数公式总结
以下是一些常见的复合函数及其导数公式，以表格形式呈现：
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 | ||
| $ y = \sin(u) $ | $ \frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} $ | u 是关于 x 的函数 | ||
| $ y = \cos(u) $ | $ \frac{dy}{dx} = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx} $ | u 是关于 x 的函数 | ||
| $ y = e^u $ | $ \frac{dy}{dx} = e^u \cdot \frac{du}{dx} $ | u 是关于 x 的函数 | ||
| $ y = \ln(u) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} $ | u 是关于 x 的函数，且 $ u > 0 $ | ||
| $ y = u^n $ | $ \frac{dy}{dx} = n u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx} $ | n 为常数，u 是关于 x 的函数 | ||
| $ y = \tan(u) $ | $ \frac{dy}{dx} = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx} $ | u 是关于 x 的函数 | ||
| $ y = \arcsin(u) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} $ | u 是关于 x 的函数，且 $ | u | < 1 $ |
| $ y = \arccos(u) $ | $ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} $ | u 是关于 x 的函数，且 $ | u | < 1 $ |
四、实际应用举例
例1： 求 $ y = \sin(3x) $ 的导数
解：令 $ u = 3x $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)
$$
例2： 求 $ y = \ln(x^2 + 1) $ 的导数
解：令 $ u = x^2 + 1 $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}
$$
五、总结
复合函数的求导是微积分中的核心内容之一，掌握链式法则并熟练运用各类复合函数的导数公式，能够帮助我们更高效地解决实际问题。通过表格形式可以清晰地了解不同类型的复合函数对应的导数公式，便于记忆和应用。
如需进一步学习高阶复合函数或多元函数的求导，可继续深入研究偏导数与多重链式法则等内容。