【等比数列的公式】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。等比数列在数列、级数、金融计算等领域都有广泛应用。为了更好地理解和掌握等比数列的相关公式，以下是对等比数列常用公式的总结。
一、基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 公比（r）：后一项与前一项的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $。
- 第n项（aₙ）：数列中的第n个元素。
- 前n项和（Sₙ）：从首项到第n项的总和。
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 用于计算数列中任意一项的值 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ （当 $ r \neq 1 $） | 计算前n项的总和 | ||
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = n \cdot a_1 $ | 公比为1时，所有项相等 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ （当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，数列收敛于一个有限值 |
三、实例解析
假设有一个等比数列，首项为2，公比为3，求：
1. 第5项是多少？
$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $
2. 前5项的和是多少？
$ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot 121 = 242 $
3. 如果公比为0.5，首项为4，求无穷和：
$ S = \frac{4}{1 - 0.5} = \frac{4}{0.5} = 8 $
四、小结
等比数列的公式虽然简单，但在实际应用中非常重要。掌握这些公式不仅有助于解决数学问题，还能在工程、经济、物理等领域发挥重要作用。通过理解各项公式的适用条件和应用场景，可以更灵活地运用等比数列的知识。
如需进一步了解等差数列或其他数列类型，可继续查阅相关资料。