【反比例函数性质及公式】在数学中，反比例函数是一种重要的函数类型，广泛应用于物理、工程和经济等领域。它与正比例函数相对，具有独特的性质和应用价值。本文将对反比例函数的基本定义、性质及其常用公式进行总结，并以表格形式直观展示。
一、反比例函数的定义
反比例函数的一般形式为：
$$
y = \frac{k}{x}
$$
其中，$ k $ 是一个非零常数，$ x \neq 0 $，$ y $ 是关于 $ x $ 的函数。
- 当 $ k > 0 $ 时，图像位于第一、第三象限；
- 当 $ k < 0 $ 时，图像位于第二、第四象限。
二、反比例函数的性质
1. 定义域：$ x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} $，即 $ x $ 不能为 0。
2. 值域：$ y \in \mathbb{R} \setminus \{0\} $，即 $ y $ 也不能为 0。
3. 图像是双曲线：反比例函数的图像是两条关于原点对称的曲线。
4. 单调性：
- 当 $ k > 0 $ 时，函数在区间 $ (-\infty, 0) $ 和 $ (0, +\infty) $ 上分别递减；
- 当 $ k < 0 $ 时，函数在区间 $ (-\infty, 0) $ 和 $ (0, +\infty) $ 上分别递增。
5. 对称性：反比例函数关于原点中心对称，即满足 $ f(-x) = -f(x) $。
三、常见公式与应用
| 公式 | 说明 |
| $ y = \frac{k}{x} $ | 反比例函数的标准形式 |
| $ k = xy $ | 若已知 $ x $ 和 $ y $ 的值，则 $ k $ 为它们的乘积 |
| $ x = \frac{k}{y} $ | 已知 $ y $ 和 $ k $，求 $ x $ 的表达式 |
| $ y_1x_1 = y_2x_2 $ | 当两个点在同一反比例函数上时，其横纵坐标乘积相等 |
四、典型例题分析
例题1：若点 $ (2, 3) $ 在反比例函数图像上，求该函数的解析式。
解：
由 $ y = \frac{k}{x} $，代入 $ x=2 $，$ y=3 $ 得：
$$
3 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 6
$$
因此，函数解析式为 $ y = \frac{6}{x} $。
五、总结
反比例函数是数学中一种重要的函数模型，其核心在于变量之间的“反向变化”关系。掌握其基本性质和公式，有助于解决实际问题。通过理解函数图像的特征以及变量之间的相互关系，可以更灵活地应用反比例函数于各类问题中。
附表：反比例函数关键信息一览
| 项目 | 内容 |
| 一般形式 | $ y = \frac{k}{x} $ |
| 定义域 | $ x \neq 0 $ |
| 值域 | $ y \neq 0 $ |
| 图像 | 双曲线，关于原点对称 |
| 单调性 | 根据 $ k $ 的正负而变化 |
| 常用公式 | $ k = xy $，$ x = \frac{k}{y} $，$ y = \frac{k}{x} $ |
通过以上内容的整理，可以系统地理解和应用反比例函数的相关知识。