【除法导数公式是什么】在微积分中,导数是研究函数变化率的重要工具。在求导过程中,当遇到两个函数相除的情况时,需要用到“除法导数公式”,也称为“商法则”。它是求解两个函数相除后的导数的标准方法。
一、总结
除法导数公式(即商法则)用于计算两个函数相除后的导数。若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $,其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数,则其导数为:
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以帮助我们快速求出分式函数的导数,避免直接展开或复杂运算。
二、表格展示
名称 | 内容 |
公式名称 | 商法则 / 除法导数公式 |
表达式 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
适用对象 | 两个可导函数的比值:$ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ |
公式结构 | 分子部分:导数乘以分母减去原函数乘以导数;分母部分:原函数的平方 |
注意事项 | 1. 分母不能为零 2. 必须分别求出分子和分母的导数 |
三、举例说明
假设 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $,则:
- $ u(x) = x^2 $,$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = \sin x $,$ v'(x) = \cos x $
根据商法则:
$$
f'(x) = \frac{(2x)(\sin x) - (x^2)(\cos x)}{\sin^2 x}
$$
四、小结
除法导数公式是微积分中的基本工具之一,适用于所有形式的分式函数求导。掌握这一公式不仅有助于提高计算效率,还能加深对函数变化规律的理解。建议在实际应用中多加练习,熟练掌握其使用方法。