计算cos105°的值
在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具。其中，余弦函数（cos）用于描述一个角的邻边与斜边的比值。本文将探讨如何计算cos105°的值。
首先，我们需要明确，105°是一个钝角，位于第二象限。根据三角函数的性质，在第二象限时，正弦函数为正值，而余弦函数为负值。因此，cos105°的值一定小于零。
接下来，我们可以利用“差角公式”来简化计算。差角公式表明：
\[
\cos(a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b
\]
我们可以通过将105°拆解为两个已知角度之和或差的形式。例如，105°可以表示为180°减去75°，即：
\[
\cos 105^\circ = \cos(180^\circ - 75^\circ)
\]
根据三角函数的诱导公式，cos(180° - x) = -cos(x)，因此：
\[
\cos 105^\circ = -\cos 75^\circ
\]
现在，我们只需要计算cos75°的值即可。同样使用差角公式，将75°拆分为45°和30°的和：
\[
\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ)
\]
利用差角公式展开：
\[
\cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ
\]
代入已知值：\(\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)，则：
\[
\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}
\]
\[
\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
由此可得：
\[
\cos 105^\circ = -\cos 75^\circ = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
最终答案为：
\[
\boxed{-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}
\]
通过上述推导，我们不仅得到了cos105°的具体数值，还复习了三角函数的基本性质及差角公式的应用。这不仅加深了对三角函数的理解，也为解决类似问题提供了方法论上的指导。
